Question

6．已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ．
（1）求a₀及S_n=a₁+a₂+…+a_n的值；
（2）比較S_n與（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并說明理由；
（3）求$\sum_{n=4}^{100}{\frac{a_4}{{n{2^{n-4}}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）令x=1，則${a_0}={2^n}$．令x=2，則${a_0}+{S_n}={3^n}$，即可得出．
（2）令${b_n}=（{n-2}）{2^n}+2{n^2}$，則由計算得S₁＞b₁，S₂＜b₂，S₃＜b₃，S_n＞b_n（n≥4）．利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明：S_n＞b_n（n≥4）．
（3）利用組合數(shù)的性質(zhì)計算公式即可得出．

解答 解：（1）令x=1，則${a_0}={2^n}$．
令x=2，則${a_0}+{S_n}={3^n}$，∴${S_n}={3^n}-{2^n}$．
（2）令${b_n}=（{n-2}）{2^n}+2{n^2}$，則由計算得S₁＞b₁，S₂＜b₂，S₃＜b₃，S_n＞b_n（n≥4）．
下證，S_n＞b_n（n≥4），
（1）當(dāng)n=4，由上結(jié)論成立；
（2）假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即3^k-2^k＞（k-2）2^k+2（k）²；
當(dāng)n=k+1時，3^k+1-2^k+1=3（3^k-2^k）+2^k＞3（（k-2）2^k+2（k）²）+2^k，
而3（（k-2）2^k+2（k）²）+2^k-[（k+1-2）2^k+1+2（k+1）²]=（k-3）2^k+4k²-4k-2＞0，
∴3^k+1-2^k+1=3（3^k-2^k）+2^k＞（k-1）2^k+1+2（k+1）²，
∴當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立．
由（1），（2）對任意的n≥4，結(jié)論成立．
（3）${a_4}=C_n^4{2^{n-4}}$，∴$\frac{a_4}{{n{2^{n-4}}}}=\frac{C_n^4}{n}=\frac{{（{n-1}）（{n-2}）（{n-3}）}}{4×3×2×1}=\frac{1}{4}C_{n-1}^3$，
則原式=$\frac{1}{4}（{C_3^3+C_4^3+…+C_{99}^3}）=\frac{1}{4}C_{100}^4$．

點評 本題考查了數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法、組合數(shù)的性質(zhì)計算公式、二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．