Question

18．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，a₆=17，若從數(shù)列{a_n}中依次取出第3項(xiàng)，第9項(xiàng)，第27項(xiàng)，…，第3ⁿ項(xiàng)，按原來的順序構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{b_n}．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{3n}{{{b_n}+1}}$（n∈N^*），T_n=c₁+c₂+…+c_n（n∈N^*），證明：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公差，結(jié)合新數(shù)列的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可．
（2）求出c_n=$\frac{3n}{{{b_n}+1}}$（n∈N^*）表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法先求出T_n，結(jié)合數(shù)列和不等式的關(guān)系進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）公差$d=\frac{{{a_6}-a{\;}_2}}{6-2}=\frac{17-5}{4}=3$，…（2分）
所以a_n=a₂+（n-2）d=3n-1，…（4分），
${b_n}={a_{3^n}}=3×{3^n}-1={3^{n+1}}-1$．    …（6分）
（2）${c_n}=\frac{3n}{{{b_n}+1}}$=$n•{（\frac{1}{3}）^n}，\begin{array}{l}{\;}&{n∈{N^*}}\end{array}$  …（7分），
${T_n}={（\frac{1}{3}）^1}+2×{（\frac{1}{3}）^2}+…+（n-1）×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}+n×{（\frac{1}{3}）^n}$…（8分），
$\frac{1}{3}{T_n}={（\frac{1}{3}）^2}+2×{（\frac{1}{3}）^3}+…+（n-1）×{（\frac{1}{3}）^n}+n×{（\frac{1}{3}）^{n+1}}$…（9分），
$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+{（\frac{1}{3}）^2}+{（\frac{1}{3}）^3}+…+{（\frac{1}{3}）^n}-n×{（\frac{1}{3}）^{n+1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×{（\frac{1}{3}）^n}-n×{（\frac{1}{3}）^{n+1}}$…（11分）
${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4}•{（\frac{1}{3}）^n}$，
故${T_n}＜\frac{3}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和是解決本題的關(guān)鍵．