Question

13．已知函數(shù)f（x）=xlnx-bx+a（a，b∈R），g（x）=$\frac{1}{2}$x²+1．
（Ⅰ）討論f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)b=1，直線l₁是曲線y=f（x）在點P（x₁，f（x₁））處的切線，直線l₂是曲線y=g（x）在點Q（x₂，g（x₂））（x₂≥0）處的切線．若對任意的點Q，總存在點P，使得l₁在l₂的下方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由x＞1，可得lnx＞0，對b討論，分①當(dāng)1-b≥0，②當(dāng)1-b＜0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線l₁的方程；求出g（x）的導(dǎo)數(shù)可得切線l₂的方程，要使直線l₁在直線l₂的下方，當(dāng)且僅當(dāng)lnx₁=x₂，且a-x₁＜1-$\frac{1}{2}$x₂²恒成立，即$a＜{e^{x_2}}-\frac{1}{2}x_2^2+1$（x₂≥0）恒成立．設(shè)$ϕ（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}+1\;（x≥0）$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx-bx+a，所以f'（x）=lnx+1-b，
因為x∈（1，+∞），所以lnx＞0，
①當(dāng)1-b≥0，即b≤1時，f'（x）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
②當(dāng)1-b＜0，即b＞1時，令f'（x）=lnx+1-b=0，得x=e^b-1，
當(dāng)x∈（1，e^b-1）時，0＜lnx＜b-1，所以f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（e^b-1，+∞）時，lnx＞b-1，所以f'（x）＞0，
所以f（x）在（1，e^b-1）上單調(diào)遞減，在（e^b-1，+∞）上單調(diào)遞增．       
（Ⅱ）由f（x）=xlnx-x+a，得f'（x）=lnx，
所以曲線y=f（x）在點P（x₁，f（x₁））處的切線l₁的方程為
y-y₁=lnx₁（x-x₁），即y=xlnx₁-x₁+a．                          
由$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+1$，得g'（x）=x，
所以曲線y=g（x）點B（x₂，g（x₂））（x₂≥0）處的切線l₂的方程為
y-y₂=x₂（x-x₂），即y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²+1．                       
要使直線l₁在直線l₂的下方，當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}ln{x_1}={x_2}\\ a-{x_1}＜-\frac{1}{2}x_2^2+1\end{array}\right.$恒成立，
即$a＜{e^{x_2}}-\frac{1}{2}x_2^2+1$（x₂≥0）恒成立．                                
設(shè)$ϕ（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}+1\;（x≥0）$，則φ'（x）=e^x-x，
令t（x）=e^x-x，則t'（x）=e^x-1，
當(dāng)x∈[0，+∞）時，t'（x）≥t'（0）=0，
所以t（x）=e^x-x在[0，+∞）上是增函數(shù)，
則t（x）≥t（0）=1＞0，即當(dāng)x∈[0，+∞）時，φ'（x）＞0，
也就是$ϕ（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}+1$在[0，+∞）上是增函數(shù)，
所以$ϕ（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}+1$在x=0處取得最小值為2，
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，2）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，求出最值，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．