Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=-log₃（1-S_n），設(shè)C_n=$\frac{4_{n+1}}{{_{n}}^{2}•{^{2}}_{n+2}}$，求數(shù)列{C_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的遞推式：a₁=S₁，n≥2，n∈N^*，a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式即可得到所求通項；
（2）S_n=1-$\frac{1}{2}$a_n=1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ，b_n=-log₃（1-S_n）=-log₃（$\frac{1}{3}$）ⁿ=n，C_n=$\frac{4_{n+1}}{{_{n}}^{2}•{^{2}}_{n+2}}$=$\frac{4n+4}{{n}^{2}•（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$，
由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1①（n∈N^*）
可得a₁=S₁，
即有a₁+$\frac{1}{2}$a₁=1，可得a₁=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)n≥2，n∈N^*，即有S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n-1=1，②
a_n=S_n-S_n-1，
①-②可得S_n-S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1=0，
即有a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
則a_n=a₁q^n-1=$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1=2•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，n∈N^*；
（2）S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1
可得S_n=1-$\frac{1}{2}$a_n=1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
b_n=-log₃（1-S_n）=-log₃（$\frac{1}{3}$）ⁿ=n，
C_n=$\frac{4_{n+1}}{{_{n}}^{2}•{^{2}}_{n+2}}$=$\frac{4n+4}{{n}^{2}•（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$，
前n項的和T_n=$\frac{1}{{1}^{2}}$-$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$-$\frac{1}{{5}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n-1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$
═$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．