Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1-2a_n=2，n∈N*．
（1）求證：數(shù)列{a_n+2}為等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），記T_n為數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}+2}$}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：將原式轉(zhuǎn)化成a_n+1+2=2（a_n+2），得$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2，即可證明數(shù)列{a_n+2}為等比數(shù)列；
（2）由（1）求得數(shù)列{b_n}通項公式，求得數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}+2}$}通項公式，利用“錯位相減法”即可求得T_n．

解答 解：（1）證明a_n+1=2+2a_n，n∈N*，
∴a_n+1+2=2（a_n+2），
∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2，
∵a₂=2a₁+2=6，$\frac{{a}_{2}+2}{{a}_{1}+2}$=2，也成立；
數(shù)列{a_n+2}為以4為首項，以2為公比的等比數(shù)列；
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2，
b_n=log₂（a_n+2）=log₂（2ⁿ⁺¹-2+2）=n+1，
$\frac{_{n}}{{a}_{n}+2}$=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
T_n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+$\frac{4}{{2}^{5}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$，
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{{2}^{3}}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$，
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$，
∴T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3•{2}^{n}-n-3}{{2}^{n+1}}$，
數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}+2}$}的前n項和T_n，T_n=$\frac{3•{2}^{n}-n-3}{{2}^{n+1}}$．＜

點評 本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列通項公式與采用“錯位相減法”求前n項和，考查推理與運算能力，屬于中檔題．