Question

11．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，n∈N^*，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{n}{2}$•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列是一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，把這個(gè)式子分解，變?yōu)閮蓚�(gè)因式乘積的形式，（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，注意數(shù)列是一個(gè)正項(xiàng)數(shù)列，得到a_n+1-2a_n=0，得到數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，寫出通項(xiàng)；
（2）由b_n=$\frac{n}{2}$•a_n=$\frac{n}{2}$•2ⁿ=n•2^n-1，采用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）∵a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，則（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n=0，
即a_n+1=2a_n，所以數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，
∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{n}{2}$•a_n=$\frac{n}{2}$•2ⁿ=n•2^n-1，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，
=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2³，
∴兩式相減得：-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ，
=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ，
=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1，（n∈N*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．