Question

14．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB．已知BC=2AD=2AB=2．
（I）證明：BD⊥平面DEC；
（Ⅱ）若EC=1，求AD與面BED所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CE為y軸，過C作平面BCE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BD⊥平面DEC．
（Ⅱ）求出平面BED的法向量，利用向量法能求出AD與面BED所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CE為y軸，過C作平面BCE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB．BC=2AD=2AB=2，
∴B（2，0，0），D（1，0，1），C（0，0，0），設(shè)E（0，t，0），
∴$\overrightarrow{BD}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（1，0，1），$\overrightarrow{CE}$=（0，t，0），
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CD}$=-1+1=0，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}$=0，
∴BD⊥CD，BD⊥CE，
∵CD∩CE=C，∴BD⊥平面DEC．
（Ⅱ）∵EC=1，∴E（0，1，0），A（2，0，1），
$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{BD}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{BE}$=（-2，1，0），
設(shè)面BED的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-2x+y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
設(shè)AD與面BED所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴AD與面BED所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．