Question

19．對于平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，給出下列四個命題：
命題p₁：若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$＞0，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角；
命題p₂：“|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|”是“$\overrightarrow{a}$$∥\overrightarrow$”的充要條件；
命題p₃：當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為非零向量時，“$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=0$”是“|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||”的必要不充分條件；
命題p₄：若|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|，則|$2\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$$+2\overrightarrow$|．
其中的真命題是（　　）

• A． p₁，p₃
• B． p₂，p₄
• C． p₁，p₂
• D． p₃，p₄

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的定義式$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cosθ進行逐項分析判斷．

解答 解：（1）當(dāng)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$同向時，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow＞0$，顯然命題p₁錯誤；
（2）若|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，則cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=1或-1．∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$方向相同或相反，即$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，則|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞|=1，∴|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|．
∴“|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|”是“$\overrightarrow{a}$$∥\overrightarrow$”的充要條件，故命題p₂正確．
（3）當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為非零向量時，若$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{0}$，則|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|≠0，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=0，∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||．
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=0$”是“|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||”的充分條件，故命題p₃錯誤．
（4）若|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|，則${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=${\overrightarrow}^{2}$，即${\overrightarrow{{a}^{\;}}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0．∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$．
∴（2$\overrightarrow$）²-（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）²=-${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}$≥0，
∴（2$\overrightarrow$）²≥（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）²，即|$2\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$$+2\overrightarrow$|．故命題p₄正確．
故選：B．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，邏輯關(guān)系推理，屬于中檔題．