Question

設函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）求證：lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

（n∈N^*且n≥2）．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx，利用導數(shù)法分析函數(shù)的單調性，進而可得f（x）的極值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，對a進行分類討論，進而可得f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：當a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx在（1，+∞）上為增函數(shù)，又由f（1）=0，可得f（x）=

1-x

x

+lnx＞0在（1，+∞）上恒成立，即lnx＞1-

1

x

在（1，+∞）上恒成立，進而利用對數(shù)的運算性質，可得答案．

解答： 解：（I）當a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx，
∴f′（x）=

-1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
∵當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，
故當x=1時，函數(shù)存在極小值0，無極大值；
（II）∵f（x）=

1-x

ax

+lnx，
∴f′（x）=

-a

(ax)2

+

1

x

=

x-a

x2

，
當a≤0時，f′（x）＞0 恒成立，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
當a＞0時，當x∈（0，

a

）時，f′（x）＜0，當x∈（

a

，+∞）時，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，

a

）上為減函數(shù)，在（

a

，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅲ）由（I）得：當a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx在（1，+∞）上為增函數(shù)，
又由f（1）=0，
故f（x）=

1-x

x

+lnx＞0在（1，+∞）上恒成立，
即lnx＞

x-1

x

在（1，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)nx＞1-

1

x

在（1，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)n2＞

1

2

，
ln

3

2

＞

1

3

，
ln

4

3

＞

1

4

，
…，
ln

n

n-1

＞

1

n

，
累加得：ln2+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，解不等式，以及不等式的證明，是一道綜合題．