Question

4．已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，且C的一個焦點與點$A（1，\sqrt{2}-1）$關(guān)于直線y=x-1對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）是否存在直線y=kx+b與雙曲線C交于P、Q兩點，使得PQ恰被點$（\frac{2}{3}，1）$平分？若存在求出直線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)雙曲線的方程為x²-y²=a²（a＞0），設(shè)C的一個焦點（c，0）與點$A（1，\sqrt{2}-1）$關(guān)于直線y=x-1對稱，由垂直和平分的條件，解方程可得c，進而得到a，可得雙曲線的方程；
（2）假設(shè)存在直線y=kx+b與雙曲線C交于P、Q兩點，使得PQ恰被點$（\frac{2}{3}，1）$平分．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），代入雙曲線的方程，作差，運用中點坐標(biāo)公式和斜率公式，可得k，由點斜式方程可得直線PQ，聯(lián)立雙曲線的方程，計算判別式，即可判斷存在性．

解答 解：（1）焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，
可設(shè)雙曲線的方程為x²-y²=a²（a＞0），
設(shè)C的一個焦點（c，0）與點$A（1，\sqrt{2}-1）$關(guān)于直線y=x-1對稱，
可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}-1}{1-c}=-1}\\{\frac{\sqrt{2}-1}{2}=\frac{c+1}{2}-1}\end{array}\right.$，
解得c=$\sqrt{2}$，
由c=$\sqrt{2}$a，可得a=1．
則雙曲線C的方程為x²-y²=1；
（2）假設(shè)存在直線y=kx+b與雙曲線C交于P、Q兩點，
使得PQ恰被點$（\frac{2}{3}，1）$平分．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁²-y₁²=1，x₂²-y₂²=1，
兩式相減可得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），
由x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，y₁+y₂=2，
k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
則直線PQ的方程為y-1=$\frac{2}{3}$（x-$\frac{2}{3}$），
即為y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{9}$，
聯(lián)立雙曲線的方程x²-y²=1，
可得$\frac{5}{9}$x²-$\frac{20}{27}$x-$\frac{106}{81}$=0，
顯然判別式大于0，成立．
則存在直線y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{9}$與雙曲線相交于P，Q，
使得PQ恰被點$（\frac{2}{3}，1）$平分．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法和點關(guān)于直線對稱的條件，同時考查點差法求直線方程的方法，注意運用檢驗存在性，屬于中檔題．