Question

9．已知函數(shù)$f（x）=-\frac{2}{x+1}，x∈[0，2]$，證明函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析 證法一：令0≤x₁＜x₂≤2，作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可得：函數(shù)$f（x）=-\frac{2}{x+1}，x∈[0，2]$為增函數(shù)；
證法一：求導(dǎo)，根據(jù)當x∈[0，2]時，f′（x）＞0恒成立，可得：函數(shù)$f（x）=-\frac{2}{x+1}，x∈[0，2]$為增函數(shù)；
進而可得函數(shù)的最值．

解答 證法一：令0≤x₁＜x₂≤2，
則x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=$-\frac{2}{{x}_{1}+1}$+$\frac{2}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{2（x}_{1}-{x}_{2}）}{{{（x}_{1}+1）（x}_{2}+1）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)$f（x）=-\frac{2}{x+1}，x∈[0，2]$為增函數(shù)；
證法二：∵$f（x）=-\frac{2}{x+1}$，
∴$f′（x）=\frac{2}{（x+1）^{2}}$
當x∈[0，2]時，f′（x）＞0恒成立，
∴函數(shù)$f（x）=-\frac{2}{x+1}，x∈[0，2]$為增函數(shù)；
故當x=2時，函數(shù)取最大值-$\frac{2}{3}$；
當x=0時，函數(shù)取最小值-2；

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值及其幾何意義，難度中檔．