Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F₁、F₂在x軸上，A₁，A₂為左右頂點，焦距為2，左準線l與x軸的交點為M，|MA₂|：|A₁F₁|=6：1．若點P在直線l上運動，且離心率e＜

1

2

，則tan∠F₁PF₂的最大值為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由橢圓的性質可得c=1，運用準線方程和離心率公式和兩點距離公式，結合條件，可得a=2，再設P（-9，y），（y＞0），運用兩角差的正切公式，結合基本不等式即可求得最大值．

解答： 解：由焦距為2，則c=1，
左準線l與x軸的交點為M，|MA₂|：|A₁F₁|=6：1，
則6（a-c）=a+

a2

c

，代入c=1，解得，a=2或3，
由于離心率e＜

1

2

，則a＞2c=2，則a=3．
則l：x=-9，
設P（-9，y），（y＞0），則MF₁|=8，|MF₂|=10，
則tan∠F₁PF₂=tan（∠F₂PM-∠F₁PM）=

10 y - 8 y

1+ 80 y2

=

2 y

1+ 80 y2

=

2

y+ 80 y

≤

2

2 y• 80 y

=

5

20

．
當且僅當y=

80

y

即y=4

5

時，取得最大值

5

20

．
故答案為：

5

20

．

點評：本題考查橢圓的性質：離心率和準線方程，考查三角函數(shù)的正切公式，考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．