Question

2．某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全市100 000名男生的身高服從正態(tài)分布N（168，16）．現(xiàn)從某學(xué)校高三年級(jí)男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于160cm和184cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組[160，164]，第二組[164，168]，…，第6組[180，184]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）試評(píng)估該校高三年級(jí)男生在全市高中男生中的平均身高狀況；
（Ⅱ）求這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人數(shù)；
（Ⅲ）在這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，該2人中身高排名（從高到低）在全市前130名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：若ξ-N（μ，σ²），則p（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，p（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （I）高三男生的平均身高用組中值×頻率，即可得到結(jié)論；
（II）首先理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，橫軸表示身高，縱軸表示頻數(shù)，即：每組中包含個(gè)體的個(gè)數(shù)．我們可以依據(jù)頻數(shù)分布直方圖，了解數(shù)據(jù)的分布情況，知道每段所占的比例，從而求出求這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人數(shù)．
（III）先根據(jù)正態(tài)分布的規(guī)律求出全市前130名的身高在172cm以上，這50人中172cm以上的有2人，確定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列與期望．

解答 解：（Ⅰ）由直方圖，經(jīng)過(guò)計(jì)算該校高三年級(jí)男生平均身高為$（162×\frac{5}{100}+166×\frac{7}{100}+170×\frac{8}{100}+174×\frac{2}{100}+178×\frac{2}{100}+182×\frac{1}{100}）×4=168.72$，
高于全市的平均值168（或者：經(jīng)過(guò)計(jì)算該校高三年級(jí)男生平均身高為168.72，比較接近全市的平均值168）．…（4分）
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，后三組頻率為（0.02+0.02+0.01）×4=0.2，人數(shù)為0.2×5=10，即這50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人數(shù)為10人．…（6分）
（Ⅲ）∵P（168-3×4＜ξ≤168+3×4）=0.9974，∴$P（ξ≥180）=\frac{1-0.9974}{2}=0.0013$，0.0013×100 000=130．
所以，全市前130名的身高在180 cm以上，這50人中180 cm以上的有2人．
隨機(jī)變量ξ可取0，1，2，于是$P（ξ=0）=\frac{C_8^2}{{C_{10}^2}}=\frac{28}{45}$，$P（ξ=1）=\frac{C_8^1C_2^1}{{C_{10}^2}}=\frac{16}{45}$，$P（ξ=2）=\frac{C_2^2}{{C_{10}^2}}=\frac{1}{45}$，
∴$Eξ=0×\frac{28}{45}+1×\frac{16}{45}+2×\frac{1}{45}=\frac{2}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正態(tài)分布，考查隨機(jī)變量的定義及其分布列，并考查了利用分布列求其期望．正確理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，由頻數(shù)分布直方圖可以得到什么結(jié)論是學(xué)習(xí)中需要掌握的關(guān)鍵．