Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=2，S_n=2a_n+k，等差數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n=n²．
（1）求k和S_n；
（2）若c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和M_n．

Answer 1

分析 （1）令n=1，得a₁=-k=2，即k=-2，再由a_n=S_n-S_n-1即可數(shù)列{a_n}的通項公式，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求和即可，
（2）由b_n=T_n-T_n-1，求出}，{b_n}的通項公式，根據(jù){C_n}的通項公式可知利用由錯位相減法能夠求出數(shù)列{C_n}的前n項和M_n．

解答 解：（1）令n=1，得a₁=-k=2，即k=-2，
∴S_n=2a_n-2，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以{a_n}=2ⁿ，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-2
（2）∵等差數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n=n²．
T_n-1=（n-1）²．
∴b_n=T_n-T_n-1=2n-1，
∴c_n=a_n•b_n=（2n-1）2ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和：
M_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，①
2M_n=1×2²+3×2³+5×2⁴…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-M_n=2+2×2²+2×2³+2×2⁴+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=2+2×$\frac{{2}^{2}-{2}^{n+1}}{1-2}$-（2m-1）×2ⁿ⁺¹
即M_n=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．

點評 本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列前n項和的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯，屬于中檔題．