Question

9．如圖，點A，F(xiàn)分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點和右焦點，過中心O作直線AF的平行線交橢圓于C，D兩點，若CD的長是焦距的$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$倍，則該橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出AB，CD的方程，聯(lián)立CD方程與橢圓方程聯(lián)立，解得x值，即可求得|CD|，利用|CD|=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$×2c，即可求得a與c的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由題意，設(shè)AB的方程為y=-$\frac{c}x$+b：CD的方程為y=-$\frac{c}x$，
CD的方程與橢圓方程聯(lián)立可得（a²+c²）x²=a²c²，
∴x=±$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，
∴|CD|=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{c}^{2}}}$×$\frac{2ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，
∵CD的長是焦距的$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$倍，
∴|CD|=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$×2c，即$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}c$，
兩邊平方得：5a⁴-16a²c²-16c⁴=0，
∴（a²-4c²）（5a²+4c²）=0，
∴a²=4c²，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的離心率，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出|CD|，屬于中檔題．