Question

6．已知圓C：（x-2）²+（y-3）²=1，（0，3）且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點M，N，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{84}{5}$，則實數(shù)k的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 聯(lián)立方程組消元，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁x₂，y₁y₂，代入數(shù)量積公式列方程解出k．

解答 解：直線l的方程為y=kx+3，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}=1}\\{y=kx+3}\end{array}\right.$，消元得：（k²+1）x²-4x+3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁x₂=$\frac{3}{{k}^{2}+1}$，x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}+1}$．
∴y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=k²x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=$\frac{3{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$+$\frac{12k}{{k}^{2}+1}$+9．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3}{{k}^{2}+1}$+$\frac{3{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$+$\frac{12k}{{k}^{2}+1}$+9=$\frac{84}{5}$，
解得，k=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．