Question

12．已知冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-m-3}$（其中m∈N*且m≥2）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）；
（2）比較f（-2013）與f（-2014）的大�。�

Answer 1

分析 （1）由冪函數(shù)f（x）為（0，+∞）上遞減，推知m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3因?yàn)閙為整數(shù)故m=0，1或2，又通過m²-2m-3為奇數(shù)，m≥2，進(jìn)而推知m只能是2，把m代入函數(shù)，即可得到f（x）的解析式；
（2）利用函數(shù)在（-∞，0）上是單調(diào)減函數(shù)，-2013＞-2014，即可比較f（-2013）與f（-2014）的大�。�

解答 解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=x^m2-2m-3（m∈Z）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，
∵m為整數(shù)，∴m=0，1或2，
又∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴m²-2m-3為奇數(shù)，
∵m≥2，∴m只能是2，
把m=2代入函數(shù)f（x）=x^m2-2m-3，
得f（x）=x^-1．
（2）∵函數(shù)在（-∞，0）上是單調(diào)減函數(shù)，-2013＞-2014，
∴f（-2013）＜f（-2014）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意冪函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．