Question

17．定義在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）同時滿足：①對任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）=$\frac{1}{2}$f（x）成立；②當x∈（1，2]時，f（x）=2-x．記函數(shù)g（x）=f（x）-k，若函數(shù)g（x）恰有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}}$）
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 根據(jù)題中的條件分別求出函數(shù)f（x）在（1，8]上對應的解析式，即可求出參數(shù)k的范圍即可．

解答 解：∵對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=$\frac{1}{2}$f（x）
∴f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$），
若x∈（2，4]，則$\frac{x}{2}$∈（1，2]，
此時f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）=1-$\frac{x}{4}$，
若x∈（4，8]，則$\frac{x}{2}$∈（2，4]，
此時f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{x}{16}$，
x=2時，f（2）=$\frac{1}{2}$，x=4，f（4）=$\frac{1}{4}$．
由題意得函數(shù)g（x）=f（x）-k，若函數(shù)g（x）恰有兩個零點，∴$\frac{1}{4}$≤k＜$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法，屬于中檔題．