Question

11．給出下列命題：①直線$x+\sqrt{3}y-1=0$的傾斜角是$\frac{2π}{3}$；②已知過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，則有${x_1}{x_2}=\frac{p^2}{4}，{y_1}{y_2}=-{p^2}$；③已知F₁、F₂為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦點，點P為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，則△PF₁F₂的內(nèi)心I始終在一條直線上．
其中所有正確命題的序號為②③．

Answer 1

分析 先求出直線的斜率，進而求出直線的傾斜角，可判斷①；設(shè)出直線方程，聯(lián)系拋物線方程，根據(jù)韋達定理，可判斷②；求出I在直線x=a上，可判斷③．

解答 解：：①直線$x+\sqrt{3}y-1=0$的斜率為：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故傾斜角是$\frac{5π}{6}$，故錯誤；
②已知過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F的直線可設(shè)為：x=my+$\frac{p}{2}$，代入拋物線方程得：y²-2pmy-p²=0
菲A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，則有${y}_{1}{y}_{2}=-{p}^{2}$，則${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{p}^{2}}{4}$，故正確；
③已知F₁、F₂為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦點，點P為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁、PF₂切于點A、B，與F₁F₂切于點M，
則|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，
又點P在雙曲線右支上，
所以|PF₁|-|PF₂|=2a，故|F₁M|-|F₂M|=2a，而|F₁M|+|F₂M|=2c，
設(shè)M點坐標為（x，0），
則由|F₁M|-|F₂M|=2a可得（x+c）-（c-x）=2a
解得x=a，故正確；
故答案為：②③．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了直線的斜率與傾斜角，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，難度中檔．