Question

2．過雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F作圓C₂：x²+y²=a²的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，延長FM交雙曲線C₁于點(diǎn)N，若點(diǎn)M為線段FN的中點(diǎn)，則雙曲線C₁的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 通過雙曲線的特點(diǎn)知原點(diǎn)O為兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)，求出NF′的長度及判斷出NF′垂直于NF，通過勾股定理得到a，c的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，記右焦點(diǎn)為F′，
則O為FF′的中點(diǎn)，
∵M(jìn)為NF的中點(diǎn)，
∴OM為△FF′N的中位線，
∴NF′=2OM=2a，
∵M(jìn)為切點(diǎn)，
∴OM⊥NF，
∴NF′⊥NF，
∵點(diǎn)N在雙曲線上，
∴NF-NF′=2a，
∴NF=NF′+2a=4a，
在Rt△NFF′中，有：NF²+NF′²=FF′²，
∴16a²+4a²=4c²，即5a²=c²，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，在圓錐曲線中，求離心率關(guān)鍵就是求三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．