Question

9．如圖所示的三角形數(shù)陣叫“牛頓調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為$\frac{1}{n}$（n≥2），每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如$\frac{1}{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$，…，
則第2016行第3個數(shù)（從左往右數(shù)）為（　　）

• A． $\frac{1}{2016×2015×2014}$
• B． $\frac{1}{2016×2017}$
• C． $\frac{1}{2016×2015×1006}$
• D． $\frac{1}{2016×2015×1007}$

Answer 1

分析 根據(jù)“牛頓調(diào)和三角形”的特征，每個數(shù)是它下一個行左右相鄰兩數(shù)的和，得出將楊暉三角形中的每一個數(shù)C_n^r都換成分數(shù)$\frac{1}{（n+1）{C}_{n}^{r}}$，就得到一個萊布尼茲三角形，從而可求出第n（n≥3）行第3個數(shù)字．

解答 解：將楊暉三角形中的每一個數(shù)C_n^r都換成分數(shù)$\frac{1}{（n+1）{C}_{n}^{r}}$，就得到牛頓調(diào)和三角形．
∵楊暉三角形中第n（n≥3）行第3個數(shù)字是C_n-12，
則“牛頓調(diào)和三角形”第n（n≥3）行第3個數(shù)字是$\frac{1}{n{C}_{n-1}^{2}}$=$\frac{2}{n（n-1）（n-2）}$，
∴第2016第3個數(shù)$\frac{2}{2016×2015×2014}$=$\frac{1}{2016×2015×1007}$
故選：D．

點評 本題考查歸納推理，解題的關鍵是通過觀察分析歸納各數(shù)的關系，考查學生的觀察分析和歸納能力，屬中檔題．