Question

19．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線y²-x²=1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p=$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，然后求出拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形是等邊三角形求出p即可．

解答 解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為：x=-$\frac{p}{2}$，
準(zhǔn)線方程與雙曲線y²-x²=1聯(lián)立可得：y²-（-$\frac{p}{2}$）²=1，
解得y=±$\sqrt{1+\frac{{p}^{2}}{4}}$，
因?yàn)椤鰽BF為等邊三角形，所以$\sqrt{{y}^{2}+{p}^{2}}$=2|y|，即p²=3y²，
即p²=3（1+$\frac{{p}^{2}}{4}$），解得p=$2\sqrt{3}$．
故答案為：$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，雙曲線方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及計(jì)算能力．