Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosx，0），$\overrightarrow$=（0，sinx），記函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²+$\sqrt{3}$sin2x．求：
（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的在區(qū)間（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用向量的加法運(yùn)算原則求f（x）的解析式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosx，0），$\overrightarrow$=（0，sinx），
 則：（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²
=3cos²x+sin²x
那么：f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²+$\sqrt{3}$sin2x．
=3cos²x+sin²x+$\sqrt{3}$sin2x．
=$3（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x）+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x+\sqrt{3}sin2x$
=2+cos2x++$\sqrt{3}$sin2x．
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：2x+$\frac{π}{6}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，（k∈Z）是單調(diào)遞增區(qū)間．即2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
所以：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）
（Ⅱ）由（1）可知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
∵x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）
∴2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）
則：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]
所以：函數(shù)f（x）的在區(qū)間（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上的值域（2-$\sqrt{3}$，4]．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，向量的加法運(yùn)算原則，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．