Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，且過(guò)點(diǎn)P（3，2）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)與直線OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）平行的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求證：直線PA，PB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)直線l的方程為2x-3y+t=0（t≠0），將直線方程代入橢圓方程得：8x²+4tx+t²-72=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式只要證明：k_AP+k_BP=0即可證明直線PA，PB與x軸圍成等腰三角形．

解答 （1）解：由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}$=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：a²=18，b=3．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1$．
（2）證明：設(shè)直線l的方程為2x-3y+t=0（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入橢圓方程得：8x²+4tx+t²-72=0，
△＞0⇒0＜|t|＜12，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{t}{2}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{t^2}-72}}{8}$，
∵k_AP+k_BP=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$=$\frac{（{y}_{1}-2）（{x}_{2}-3）+（{y}_{2}-2）（{x}_{1}-3）}{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}$，
∴分子=$（\frac{2{x}_{1}+t}{3}-2）$（x₂-3）+$（\frac{2{x}_{2}+t}{3}-2）（{x}_{1}-3）$
=$\frac{4}{3}{x}_{1}{x}_{2}$+$（\frac{t}{3}-4）$（x₁+x₂）-2t+12
=$\frac{{t}^{2}-72}{6}$+$\frac{t-12}{3}×（-\frac{t}{2}）$-2t+12
=0，
∴k_AP+k_BP=0，
∴k_AP=-k_BP，
∴直線PA、PB與x軸所成的銳角相等，
故圍成等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、等腰三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．