Question

18．已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，g（x）是反比例函數(shù)，且滿足f[f（x）]=x=2，g（1）=-1．
（1）求函數(shù)f（x）和g（x）；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），判斷函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=ax+b，（a≠0），g（x）=$\frac{k}{x}$，（k≠0），推導(dǎo)出a=1，b=1，k=-1，由此能求出結(jié)果．
（2）函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，利用定義法能進(jìn)行證明．

解答 解：（1）∵f（x）是一次函數(shù)，g（x）是反比例函數(shù)，
∴設(shè)f（x）=ax+b，（a≠0），g（x）=$\frac{k}{x}$，（k≠0），
∴f[f（x）]=x+2，∴a（ax+b）+b=x+2，
∴a²x+（a+1）b=x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=1}\\{（a+1）b=2}\end{array}\right.$，∴a=1，b=1，∴f（x）=x+1，
∵g（1）=-1，∴k=-1，∴g（x）=-$\frac{1}{x}$．
（2）判斷：函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
由（1）知h（x）=$x-\frac{1}{x}$+1設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
$h（{x}_{1}）-h（{x}_{2}）=（{x}_{1}-\frac{1}{{x}_{1}}）-（{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}）$=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)的判斷與證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．