Question

8．△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，D是BC的中點(diǎn)，若a=4，AD=c-b，則△ABC的面積的最大值為$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在△ABD和△ACD中分別使用余弦定理得出bc的關(guān)系，求出cosA，sinA，代入面積公式求出最大值．

解答 解：在△ABC中，∵角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，D是BC的中點(diǎn)，
若a=4，AD=c-b，
則$\left\{\begin{array}{l}{c}^{2}={2}^{2}+（c-b）^{2}-4（c-b）cos∠ADB\\^{2}={2}^{2}+（c-b）^{2}-4（c-b）cos∠ADC\end{array}\right.$，
∵∠ADB=π-∠ADC，
∴b²+c²=8+2（c-b）²，即b²+c²-4bc+8=0，
故cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-16}{2bc}$=$\frac{2bc-12}{bc}$，
故sinA=$\sqrt{1-{cos}^{2}A}$=$\sqrt{1-（\frac{2bc-12}{bc}）^{2}}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-3（bc-8）^{2}+48}$≤$2\sqrt{3}$，
即△ABC的面積的最大值為$2\sqrt{3}$，
故答案為：$2\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理得應(yīng)用，根據(jù)余弦定理得出bc的關(guān)系是解題關(guān)鍵．