Question

18．設(shè)向量$\overrightarrow{OA}=（x+2，{x^2}-\sqrt{3}cos2α）$，$\overrightarrow{OB}=（y，\frac{y}{2}+sinαcosα）$，其中x，y，α為實(shí)數(shù)，若$\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}$，則$\frac{x}{y}$的取值范圍為（　�。�

• A． [-6，1]
• B． [-1，6]
• C． [4，8]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量關(guān)系列出方程組，得出x，y的關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的范圍得出y的范圍，從而得出$\frac{x}{y}$的范圍．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2=2y}\\{{x}^{2}-\sqrt{3}cos2α=y+2sinαcosα}\end{array}\right.$，
由x+2=2y得x=2y-2，
由x²-$\sqrt{3}$cos2α=y+2sinαcosα得：x²-y=$\sqrt{3}$cos2α+sin2α=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）．
∴4y²-9y+4=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）．
∴-2≤4y²-9y+4≤2，解得$\frac{1}{4}≤y≤2$．
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{2y-2}{y}=2-\frac{2}{y}$．
∴當(dāng)y=$\frac{1}{4}$時(shí)，$\frac{x}{y}$取得最小值-6，當(dāng)y=2時(shí)，$\frac{x}{y}$取得最大值1．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量數(shù)乘運(yùn)算的意義，三角函數(shù)的恒等變換，二次不等式的解法，屬于中檔題．