Question

15．已知a，b為正常數(shù)，x，y＞0，且$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$=1，求證：x+y≥（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²．

Answer 1

分析 運(yùn)用乘1法，可得x+y=（x+y）•1=（x+y）（$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$）=a+b+$\frac{ay}{x}$+$\frac{bx}{y}$，運(yùn)用均值不等式，即可得證．

解答 證明：由a，b為正常數(shù)，x，y＞0，且$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$=1，
可得x+y=（x+y）•1=（x+y）（$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$）
=a+b+$\frac{ay}{x}$+$\frac{bx}{y}$≥a+b+2$\sqrt{\frac{ay}{x}•\frac{bx}{y}}$
=a+b+2$\sqrt{ab}$=（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{ay}{x}$=$\frac{bx}{y}$，即$\sqrt$x=$\sqrt{a}$y時(shí)，取得等號．
則x+y≥（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用乘1法和均值不等式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．