Question

5．已知雙曲線C：$\frac{y^2}{a^2}$-$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，A是該雙曲線上一點(diǎn)，滿(mǎn)足：2|AF₁|-2|AF₂|=|F₁F₂|，直線AF₂交雙曲線C于另一點(diǎn) B，且5$\overrightarrow{{A}{F_2}}$=3$\overrightarrow{{A}{B}}$，則直線 AF₂的斜率為（　　）

• A． $±\frac{{\sqrt{11}}}{33}$
• B． $±\sqrt{3}$
• C． $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $±3\sqrt{11}$

Answer 1

分析 根據(jù)2|AF₁|-2|AF₂|=|F₁F₂|，得到c=2a，b=$\sqrt{3}$a，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用向量關(guān)系，聯(lián)立方程組求出A的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵A是該雙曲線上一點(diǎn)，滿(mǎn)足：2|AF₁|-2|AF₂|=|F₁F₂|，
∴2（|AF₁|-|AF₂|）=|F₁F₂|，
即4a=2c，則c=2a，b=$\sqrt{3}$a
則雙曲線的方程等價(jià)為$\frac{y^2}{a^2}$-$\frac{{x}^{2}}{3{a}^{2}}$=1，
即3y²-x²=3a²，
設(shè)A（x，y），B（m，n），F(xiàn)₂（0，c），
∵5$\overrightarrow{{A}{F_2}}$=3$\overrightarrow{{A}{B}}$，
∴5（-x，c-y）=3（m-x，n-y），
即$\left\{\begin{array}{l}{-5x=3m-3x}\\{5c-5y=3n-3y}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2x}{3}}\\{n=\frac{5c-2y}{3}}\end{array}\right.$，即B（-$\frac{2x}{3}$，$\frac{5c-2y}{3}$），
代入3y²-x²=3a²，
得（$\frac{5c-2y}{3}$）²-（-$\frac{2x}{3}$）²=3a²，
∵3y²-x²=3a²，
∴消去x得y=$\frac{19a}{8}$，代入3y²-x²=3a²，
得3（$\frac{19a}{8}$）²-x²=3a²，
得x=±$\frac{9\sqrt{11}a}{8}$，即A（±$\frac{9\sqrt{11}a}{8}$，$\frac{19a}{8}$），
則AF₂的斜率k=$\frac{\frac{19a}{8}-c}{±\frac{9\sqrt{11}a}{8}}$=$\frac{\frac{19a}{8}-2a}{±\frac{9\sqrt{11}a}{8}}$=±$\frac{3}{9\sqrt{11}}$=$±\frac{{\sqrt{11}}}{33}$，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線斜率的計(jì)算，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和定義，建立方程組求出的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．