Question

6．半徑為2的球O中有一內接正四棱柱（底面是正方形，側棱垂直底面），當該正四棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是（　�。�

• A． 16（$π-\sqrt{3}$）
• B． 16（$π-\sqrt{2}$）
• C． 8（2$π-3\sqrt{2}$）
• D． 8（2$π-\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 設底面邊長為a，高為h，根據(jù)球的半徑使用勾股定理列出方程，得出a，h的關系，使用基本不等式得出ah的最大值，求出側面積的最大值，做差即可．

解答 解：設球內接正四棱柱的底面邊長為a，高為h，則球的半徑r=$\sqrt{（\frac{h}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}}$=2，
∴h²+2a²=16≥2$\sqrt{2}$ah，∴ah≤4$\sqrt{2}$．
∴S_側=4ah≤16$\sqrt{2}$．
球的表面積S=4π×2²=16π．
∴當四棱柱的側面積最大值時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差為16π-16$\sqrt{2}$=16（$π-\sqrt{2}$）．
故選B．

點評 本題考查了四棱柱與外接球的關系，基本不等式的應用，屬于中檔題．