Question

14．已知f（x）=ax²+bx+c，a，b，c∈R，定義域為[-1，1]，
（Ⅰ）當a=1，|f（x）|≤1時，求證：|1+c|≤1；
（Ⅱ）當b＞2a＞0時，是否存在x∈[-1，1]，使得|f（x）|≥b？

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²+bx+c，結(jié)合|f（x）|≤1及絕對值三角不等式可證得：|1+c|≤1；
（Ⅱ）當b＞2a＞0時，$-\frac{2a}＜-1$，則f（x）在[-1，1]上遞增且b＞0，分類討論滿足|f（x）|≥b的x值，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答 證明：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²+bx+c，
∵|f（x）|≤1
∴|f（-1）|=|1-b+c|≤1，|f（1）|=|1+b+c|≤1，
∵|1-b+c+1+b+c|≤|1-b+c|+|1+b+c|≤2，
∴|2+2c|≤2
∴|1+c|≤1…（6分）
解：（Ⅱ）∵b＞2a＞0，
∴$-\frac{2a}＜-1$，則f（x）在[-1，1]上遞增且b＞0
∴f（x）∈[a-b+c，a+b+c]…（9分）
①當a+c＞0時，a+b+c＞b＞0…（11分）
此時有|f（1）|≥b即存在x=1，使得|f（x）|≥b成立
②當a+c＜0時，a-b+c＜-b＜0…（13分）
此時有|f（-1）|≥b即存在x=-1使得|f（x）|≥b成立
③當a+c=0時，f（x）∈[-b，b]，存在x使得|f（x）|≥b成立
∴存在x=±1使得|f（x）|≥b成立…（15分）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．