Question

2．已知圓C的圓心C（1，2），且圓C與x軸相切，過(guò)原點(diǎn)O的直線與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，則$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{OQ}$的值是1．

Answer 1

分析 可取PQ的中點(diǎn)D，并連接CD，CP，CQ，OC，從而得到CD⊥PQ，根據(jù)向量加法的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算便可得出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={\overrightarrow{OC}}^{2}+2\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$，而$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DP}$，從而進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}={\overrightarrow{CD}}^{2}-{\overrightarrow{DP}}^{2}$，帶入前面的式子即可求出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值．

解答 解：如圖，
取PQ中點(diǎn)D，連接CD，CP，CQ，OC，則CD⊥PQ；
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}）•（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CQ}）$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}+\overrightarrow{OC}•（\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{CQ}）+\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}+2\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{CD}+（\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DP}）$$•（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DP}）$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}+2（\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}）•\overrightarrow{CD}$$+{\overrightarrow{CD}}^{2}-{\overrightarrow{DP}}^{2}$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}-2{\overrightarrow{CD}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}-{\overrightarrow{DP}}^{2}$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}-（{\overrightarrow{CD}}^{2}+{\overrightarrow{DP}}^{2}）$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}-{\overrightarrow{CP}}^{2}$
=5-4
=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．