Question

1．函數(shù)f（x）定義在（0，$\frac{π}{2}$）上，f′（x）是它的導函數(shù)，且tanx•f（x）＞f′（x）在定義域內恒成立，則（　�。�

• A． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜f（$\frac{π}{3}$）
• B． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）
• C． cos1•f（1）＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構造函數(shù)g（x），求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調性即得到結論．

解答 解：因為x∈（0，$\frac{π}{2}$），所以sinx＞0，cosx＞0，
由tanx•f（x）＞f′（x），得f′（x）cosx＜f（x）sinx，
即f′（x）cosx-f（x）sinx＜0．
令g（x）=cosxf（x），x∈（0，$\frac{π}{2}$），
則g′（x）=f′（x）cosx-f（x）sinx＜0，
所以函數(shù)g（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上為減函數(shù)，
則g（$\frac{π}{6}$）＞g（$\frac{π}{4}$）＞g（1）＞g（$\frac{π}{3}$），
則cos（$\frac{π}{6}$）f（$\frac{π}{6}$）＞cos（$\frac{π}{4}$）f（$\frac{π}{4}$）＞cos（1）f（1）＞cos（$\frac{π}{3}$）f（$\frac{π}{3}$），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＞2cos（1）f（1）＞f（$\frac{π}{3}$），
故D正確，A，B，C錯誤，
故選：D．

點評 本題考查了導數(shù)的運算法則，考查了利用函數(shù)導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性，考查了函數(shù)構造法，屬中檔題型