Question

11．點(diǎn)P是雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）在第一象限的某點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線的焦點(diǎn)．若P在以F₁F₂為直徑的圓上且滿足|PF₁|=3|PF₂|，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合圓的性質(zhì)可知PF₁⊥PF₂，由已知結(jié)合雙曲線的定義求得|PF₁|，|PF₂|，再由勾股定理得答案．

解答 解：如圖，∵P在以F₁F₂為直徑的圓上，
∴F₁F₂為圓的直徑，則PF₁⊥PF₂，
∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|=2a}\\{|P{F}_{1}|=3|P{F}_{2}|}\end{array}\right.$，
解得|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=9{a}^{2}+{a}^{2}=4{c}^{2}$，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{10}{4}$，得e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了雙曲線定義的應(yīng)用，根據(jù)圓的性質(zhì)得到PF₁⊥PF₂是解決本題的關(guān)鍵．考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．