Question

12．（1）求函數(shù)$f（x）=2cosxsin（{x+\frac{π}{6}}）$的單增區(qū)間；
（2）函數(shù)$y=3{cos^2}x-4cosx+1，x∈[0，\frac{π}{2}]$的最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出單增區(qū)間即可；
（2）函數(shù)解析式配方變形后，由x的范圍求出cosx的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定出最小值即可．

解答 解：（1）f（x）=2cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得到-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
則f（x）的單增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）y=3cos²x-4cosx+1=3（cosx-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx∈[0，1]，
∴-$\frac{1}{3}$≤y≤1，
則函數(shù)y的最小值為-$\frac{1}{3}$．

點評 此題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，涉及的知識有：兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．