Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a${\;}_{n+1}^{2}$=a_na_n+2，且a₁=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{1}{81}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），T_n=$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$，求T₂₀₁₇．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）f（a_n）=$lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n}$=-n．可得b_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{_{n}}$=-2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a${\;}_{n+1}^{2}$=a_na_n+2，∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為$\frac{1}{3}$，設(shè)公比為q，
由a₁=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{1}{81}$，可得：$\frac{1}{81}$=$\frac{1}{3}×{q}^{3}$，解得q=$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）f（a_n）=$lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n}$=-n．
∴b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=-1-2-…-n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{_{n}}$=-2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
T_n=$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=-2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=-2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{-2n}{n+1}$，
∴T₂₀₁₇=$\frac{-2017}{1009}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．