Question

已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C：（x-1）²+y²=

1

5

相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為拋物線y²=4

5

x的焦點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線的焦點(diǎn)，即有c=

5

，設(shè)出雙曲線的方程，求出漸近線方程，再由直線和圓相切的條件d=r，得到a=2b，再由a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到雙曲線方程．

解答： 解：拋物線y²=4

5

x的焦點(diǎn)為（

5

，0），
即有雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且c=

5

，
設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
漸近線方程為y=±

b

a

x，
由直線和圓相切的條件：d=r，可得，

| b a |

1+ b2 a2

=

5

5

，化簡(jiǎn)得，a=2b，
則c²=a²+b²=5b²=5，解得，b=1，a=2．
則雙曲線的方程為：

x2

4

-y²=1．
故答案為：

x2

4

-y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)：漸近線方程，考查直線和圓相切的條件，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．