Question

8．不等式（a-1）x²-（a-2）x+1＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 討論a的取值，利用判別式△＜0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出不等式恒成立時(shí)a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)a=1時(shí)，不等式為x+1＞0，
解得x＞-1，此時(shí)不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x不恒成立；
當(dāng)a＞1時(shí)，判別式△＜0，即為（a-2）²-4（a-1）＜0，
解得4-2$\sqrt{2}$＜a＜4+2$\sqrt{2}$，此時(shí)不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立；
當(dāng)a＜1時(shí)，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x不恒成立．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（4-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的恒成立問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)注意運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題目．