Question

7．現(xiàn)有4人去旅游，旅游地點(diǎn)有A，B兩個(gè)地方可以選擇，但4人都不知道去哪里玩，于是決定通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪里玩，擲出能被3整除的數(shù)時(shí)去A地，擲出其他的則去B地．
（1）求這4個(gè)人恰好有1個(gè)人去A地的概率；
（2）用X，Y分別表示這4個(gè)人中去A，B兩地的人數(shù)，記ξ=X•Y，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）由題意這4人中，每個(gè)人去A地旅游的概率為$\frac{1}{3}$，去B地旅游的概率為$\frac{2}{3}$，設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去A地旅游”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），P（A_i）=${C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，由此能求出這4個(gè)人恰好有1個(gè)人去A地的概率．
（2）由題意ξ的可能取值為0，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

解答 解：（1）由題意這4人中，每個(gè)人去A地旅游的概率為$\frac{1}{3}$，去B地旅游的概率為$\frac{2}{3}$，
設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去A地旅游”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），
∴P（A_i）=${C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，
∴這4個(gè)人恰好有1個(gè)人去A地的概率：
P（A₁）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）^{1}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{32}{81}$．
（2）由題意ξ的可能取值為0，3，4，
P（ξ=0）=P（A₀）+P（A₄）=$（\frac{2}{3}）^{4}+（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{17}{81}$，
P（ξ=3）=P（A₁）+P（A₃）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$+${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=P（A₂）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$═$\frac{24}{81}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

Eξ=$0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．