Question

8．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）的e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，焦距為2$\sqrt{3}$．
（1）求E的方程；
（2）設點A，B，C在E上運動，A與B關于原點對稱，且|AC|=|CB|，當△ABC的面積最小時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓中，e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，焦距為2$\sqrt{3}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓E的方程．
（2）當AB為長軸（或短軸）時，依題意C是橢圓的上下頂點（或左右頂點）時，S_△ABC=2．當直線AB的斜率不為0時，設其斜率為k，直線AB的方程為y=kx，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得|OA|²=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，直線直線OC的方程為y=-$\frac{1}{k}x$，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，得|OC|²=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}+4}$．從而求出${S}_{△ABC}≥\frac{8}{5}$，由此能求出△ABC面積的最小值為$\frac{8}{5}$，此時直線直線AB的方程為y=x或y=-x．

解答 解：（1）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）的e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，焦距為2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2c=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）當AB為長軸（或短軸）時，依題意C是橢圓的上下頂點（或左右頂點），
此時S_△ABC=$\frac{1}{2}×$|OC|×|AB|=2．
當直線AB的斜率不為0時，設其斜率為k，直線AB的方程為y=kx，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得${{x}_{A}}^{2}$=$\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，${{y}_{A}}^{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴|OA|²=${{x}_{A}}^{2}+{{y}_{A}}^{2}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，
由|AC|=|CB|知，△ABC為等股三角形，O為AB的中點，OC⊥AB，
∴直線直線OC的方程為y=-$\frac{1}{k}x$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，解得${{x}_{{\;}_{C}}}^{2}$=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$，${{y}_{C}}^{2}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}+4}$，|OC|²=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}+4}$．
S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|=$\sqrt{\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}}×\sqrt{\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}+4}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}}$．
∵$\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}$≤$\frac{（1+4{k}^{2}）+（{k}^{2}+4）}{2}$=$\frac{5（{k}^{2}+1）}{2}$，
∴${S}_{△ABC}≥\frac{8}{5}$，
當且僅當1+4k²=k²+4，即k=±1時，等號成立，
此時△ABC面積的最小值是$\frac{8}{5}$，
∵2＞$\frac{8}{5}$，∴△ABC面積的最小值為$\frac{8}{5}$，
此時直線直線AB的方程為y=x或y=-x．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓、直線方程、三角形面積等知識點的合理運用．