Question

已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） b_n=

1

(n+1)an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由題設(shè)知

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由b_n=

1

(n+1)an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（I）由題設(shè)知公差d≠0．
由a₁=1且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列得：

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，…（3分）
解得d=1或d=0（舍），
故{a_n}的通項(xiàng)a_n=1+（n-1）×1=n．…（5分）
（Ⅱ）∵b_n=

1

(n+1)an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（7分）
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．