Question

已知點A（-2，0），B（2，0），曲線C上的動點P滿足

AP

•

BP

=-3．
（I）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若過定點M（0，-2）的直線l與曲線C有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍；
（Ⅲ）若動點Q（x，y）在曲線上，求u=

y+2

x-1

的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,點到直線的距離公式

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓

分析：（I）設P（x，y），運用向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡即可得到曲線C的方程；
（Ⅱ）可設直線l：y=kx-2，運用直線和圓有公共點的條件：d≤r，運用點到直線的距離公式，解不等式即可得到取值范圍；
（Ⅲ）由動點Q（x，y），設定點N（1，-2），u=

y+2

x-1

的幾何意義是直線QN的斜率，再由直線和圓相交的條件d≤r，解不等式即可得到范圍．

解答： 解：（I）設P（x，y），

AP

•

BP

=（x+2，y）•（x-2，y）=x²-4+y²=-3，
即有x²+y²=1，P點的軌跡為圓C：x²+y²=1；
（Ⅱ）可設直線l：y=kx-2，即為kx-y-2=0，當直線l與曲線C有交點，得，

|0-0-2|

1+k2

≤1，解得，k≥

3

或k≤-

3

．
即有直線l的斜率k的取值范圍是（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）；
（Ⅲ）由動點Q（x，y），設定點N（1，-2），則直線QN的斜率為k=

y+2

x-1

=u，
又Q在曲線C上，故直線QN與圓有交點，
由于直線QN方程為y+2=k（x-1）即為kx-y-k-2=0，
當直線和圓相切時，

|-k-2|

1+k2

=1，解得，k=-

3

4

，
當k不存在時，直線和圓相切，
則k的取值范圍是（-∞，-

3

4

]

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標表示，考查直線和圓的位置關系，考查直線斜率的公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．