Question

17．（1）設(shè)0＜x＜$\frac{3}{2}$，求函數(shù)y=x（2-x）的最大值
（2）已知x＞3，求y=x+$\frac{4}{x-3}$的最小值
（3）已知x＞0，y＞0，$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{3}$=2，求xy的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式的即可求出，注意等號(hào)成立的條件．

解答 解：$\begin{array}{l}（1）∵0＜x＜\frac{3}{2}$，
∴2-x＞0，
∴$y=x（2-x）≤{[{\frac{x+（2-x）}{2}}]^2}=1\end{array}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=2-x時(shí)取等號(hào)，既x=1時(shí)，y的最大值為1，
$\begin{array}{l}（2）∵x＞3$，∴$x-3＞0\\∴y=x+\frac{4}{x-3}=（x-3）+\frac{4}{x-3}+3≥2\sqrt{4}+3=7\end{array}$，$當(dāng)且僅當(dāng)x-3=\frac{4}{x-3}時(shí)取等號(hào)，即x=5時(shí)，y的最小值為7$，
（3）∵x＞0，y＞0，
∴$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}≥2\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{y}{3}}∴2≥2\sqrt{\frac{xy}{6}}∴xy≤6$，
$當(dāng)且僅當(dāng)\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=1時(shí)取等號(hào)，即x=2，y=3時(shí)，xy的最大值為6$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．