Question

3．如圖，在長方形ABCD中，AB=2，AD=1，E為DC的中點，將△DAE沿AE折起，平面DAE⊥平面ABCE，連DB，DC，BE．

（Ⅰ）求證：BE⊥平面ADE；
（Ⅱ）求AC與平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在矩形ABCD中，求出AE=BE=$\sqrt{2}$，AB=2，說明AE⊥BE，然后證明BE⊥平面ADE．
（II）由題意BE=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{5}$，C到平面ADE的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后求出所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD的中點．
∴AE=BE=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AE⊥BE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE．…（6分）
（II）解：由題意BE=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{5}$，C到平面ADE的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$
AC與平面ADE所成角的正弦值為$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$…（6分）

點評 本題考查直線與平面垂直，折疊問題，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，計算能力．