Question

16．已知函數(shù)f（x）=mx-$\frac{m-1+2e}{x}$-lnx（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），m∈R．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）已知函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x•sinθ}$+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），若在[1，e]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=0時(shí)，求出f（x）、f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0得到單調(diào)區(qū)間，由極值定義可得極值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=mx-$\frac{m+2e}{x}$-2lnx，分m≤0，m＞0兩種情況進(jìn)行討論，由題意知，只要在[1，e]上F（x） max＞0即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=$\frac{1-2e}{x}$-lnx，f′（x）=$\frac{（2e-1）-x}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜2e-1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞2e-1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
所以f（x）的增區(qū)間是（0，2e-1），減區(qū)間是（2e-1，+∞），當(dāng)x=2e-1時(shí)，f（x）取得極大值f（2e-1）=-1-ln（2e-1）．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=mx-$\frac{m+2e}{x}$-2lnx，
①當(dāng)m≤0時(shí)，x∈[1，e]，mx-$\frac{m}{x}$≤0，-2lnx-$\frac{2e}{x}$＜0，
∴在[1，e]上不存在一個(gè)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立．
②當(dāng)m＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）=m+$\frac{m+2e}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{{mx}^{2}-2x+m+2e}{{x}^{2}}$，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx²+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
F（x） max=F（e）=me-$\frac{m}{e}$-4，
只要me-$\frac{m}{e}$-4＞0，解得m＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
故m的取值范圍是（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．