Question

14．如圖，多面體ABCDEF中，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AD⊥CD，AB=2，CD=4，直線BE與平面ABCD所成的角的正切值等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（1）求證：平面BCE⊥平面BDE；
（2）求平面BDF與平面CDE所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，即可得證；
（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE為x，y，z軸，建立空間的直角坐標(biāo)系，求得A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，運(yùn)用向量垂直的條件，求得平面BDM和平面CDE的法向量，再由向量的夾角公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 （1）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
∵平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，∴BC⊥ED．
∵ED⊥平面ABCD，∠EBD為BE與平面ABCD所成的角，
設(shè)ED=a，則AD=a，DB=$\sqrt{4+{a}^{2}}$，
在Rt△EDB中，tan∠EBD=$\frac{a}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=2，…（3分）
在直角梯形ABCD中，BC=2$\sqrt{2}$，
在△BDC中，BD=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，CD=4，
∴BD²+BC²=CD²，∴BC⊥BD．
又ED∩BD=D，故BC⊥平面BDE．
又BC?平面BEC，則平面BDE⊥平面BEC．…（6分）
（2）解：由題知，DA，DC，DE兩兩垂直，如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，…（7分）

則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），F(xiàn)（2，0，2），C（0，4，0），E（0，0，2），
取平面CDE的一個(gè)法向量$\overrightarrow{DA}$=（2，0，0），…（8分）
設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x+z=0}\end{array}\right.$．
令x=1，則y=z=-1，
所以$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）．…（10分）、
設(shè)平面BDF與平面CDE所成銳二面角的大小為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{n}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，…（11分）
所以平面BDF與平面CDE所成銳二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間的線面位置關(guān)系的證明，以及空間二面角的求法，注意運(yùn)用面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查運(yùn)算和推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．