Question

6．已知直線l：x-y+a=0，M（-2，0），N（-1，0），動點Q滿足$\frac{|QM|}{|QN|}$=$\sqrt{2}$，動點Q的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于不同的兩點A，B，且滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0（其中O為坐標(biāo)原點），求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，建立方程，即可求曲線C的方程；
（Ⅱ）若滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則OA⊥OB，即△AOB為等腰直角三角形，則圓心O到直線l：x-y+a=0的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=1．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點Q（x，y），依題意知$\frac{|QM|}{|QN|}$=$\frac{\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{2}$    …（3分）
整理得x²+y²=2，∴曲線C的方程為x²+y²=2．   …（6分）
（Ⅱ）若滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則OA⊥OB，即△AOB為等腰直角三角形，
則圓心O到直線l：x-y+a=0的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=1，…（9分）
即$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=1，解得a=$±\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題考查利用直接法求軌跡方程，考查點到直線距離公式的運用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．