Question

12．（理科）求橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)l：x-2y-12=0的最大距離和最小距離．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=2\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、三角函數(shù)求值即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=2\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
設(shè)P是橢圓上任意一點(diǎn)則P$（4cosα，2\sqrt{3}sinα）$，
則P到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{|4cosα-2×2\sqrt{3}sinα-12|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{|8cos（α+\frac{π}{3}）-12|}{\sqrt{5}}$∈$[\frac{4\sqrt{5}}{5}，4\sqrt{5}]$．
∴當(dāng)cos$（α+\frac{π}{3}）$=±1時(shí)，可得最小距離和最大距離分別為：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其參數(shù)方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．