Question

10．某中學(xué)生心理咨詢中心服務(wù)電話接通率為$\frac{3}{4}$，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問題詢問該服務(wù)中心，且每人只撥打一次，
求（1）他們中成功咨詢的人數(shù)為X的分布列及期望；
（2）至少一人撥通電話的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意知X～B（3，$\frac{3}{4}$），由此能求出X的分布列及期望．
（2）利用對立事件概率計算公式能求出至少一人撥通電話的概率．

解答 解：（1）由題意知，
用X表示成功咨詢的人數(shù)，則X服從X～B（3，$\frac{3}{4}$），
∴P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{4}）^{3}$=$\frac{1}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{3}{4}）^{2}（\frac{1}{4}）$=$\frac{27}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$，
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$

E（X）=3×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$．（8分）       
（2）至少一人撥通電話的概率：
P=1-$\frac{1}{64}$=$\frac{63}{64}$．（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．