Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，g（x）=x2+2mx+
（1）用定義法證明f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）求出所有滿足不等式f（2a﹣a2）+f（3）＞0的實數(shù)a構(gòu)成的集合；
（3）對任意的實數(shù)x1∈[﹣1，1]，都存在一個實數(shù)x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）=g（x2），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）的定義域為R，設(shè)x1、x2是R上任意兩個值，且x1＜x2，則 ，

∵x1＜x2，∴ ， ， ，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x）在R上是增函數(shù)

（2）解：∵ ，∴f（x）在R上是奇函數(shù)，

∵f（2a﹣a2）+f（3）＞0，∴f（3）＞﹣f（2a﹣a2）=f（a2﹣2a），

又∵f（x）在R上是增函數(shù)，∴a2﹣2a＜3，

解得﹣1＜a＜3，∴所求實數(shù)a構(gòu)成的集合為 {a|﹣1＜a＜3}

（3）解：∵f（x）在R上是增函數(shù)，∴當(dāng)x1∈[﹣1，1]時，f（x1）∈[f（﹣1），f（1）]，即 ．

設(shè)g（x）在[﹣1，1]上的值域為B，則由題意可知AB．

∵ ，∴ ，解得 或 ，

①當(dāng) 時，函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上為減函數(shù)，所以 ；

由AB得 ，解得 ．

②當(dāng) 時，函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上為增函數(shù)，所以 ，

由AB得 ，解得 ．

綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為 或

【解析】（1）設(shè)x1、x2是R上任意兩個值，且x1＜x2 ， 求得∴f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）在R上是增函數(shù)．（2）先證明f（x）為奇函數(shù)，不等式即f（3）＞﹣f（2a﹣a2）=f（a2﹣2a），再利用f（x）在R上是增函數(shù) 可得a2﹣2a＜3，由此求得a的范圍．（3）利用f（x）的單調(diào)性求得A，設(shè)g（x）在[﹣1，1]上的值域為B，則由題意可知AB，分類討論求得B，從而求得實數(shù)m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的理解，了解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集．